傅里叶变换是我们最早开始接触的时频域变换方法,虽然经常使用,知道怎么用纸笔计算,但是还从来没有在电脑中模拟过,正好现在开始学习数字信号处理,借着这个机会再学习如何在电脑上模拟傅里叶变换。

以下大部分内容来自Digital Signal Processing Using Matlab和数字信号处理教程 程佩青

此次选择的软件平台为Matlab。

由于Matlab无法处理无限长序列,所以需要处理的信号必须是有限长的。

傅里叶变换的公式为:

为了在计算机中模拟傅里叶变换,我们将积分变为求和的方式,上下限也从正无穷到负无穷变为一段长度M,dt需要尽可能小

在Matlab中,函数的自变量因变量的集合都是使用矩阵来存储的,从矩阵的角度来看傅里叶变换的公式如下:

角频率向量定义为

时间向量定义为

因此矩阵指数可写为

整个傅里叶变换可写为

Xa = xa * exp(-1j*t'*W) * Dt;具体实现其实下面这个例子是Digital Signal Processing Using Matlab中的,来自P64页,不过想到都看到这里了还要读者翻书不太好,就一起放上来了。

先进行数学上的分析,

MATLAB实现如下:

% Analog SignalDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t));% Continuous-time Fourier TransformWmax = 2*pi*2000;K = 500;k = 0:1:K;W = k*Wmax/K;Xa = xa * exp(-1j*t'*W) * Dt;Xa = abs(Xa);W = [-fliplr(W), W(2:501)];Xa = [fliplr(Xa), Xa(2:501)];subplot(2,1,1); plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('xa(t)');title('Analog Signal');subplot(2,1,2); plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000');title('Continuous-time Fourier Transform');运行效果如下:

如果想确认变换的正确性,可以在运行完上面这个脚本后,在命令行输入

plot(W/(2*pi*1000),(0.002./(1+(W./1000).^2))*1000);xlabel('Frequency in KHz'); ylabel('Xa(jW)*1000');运行效果如下:

这时会发现,根据上面推导的变换公式直接plot出的图形和变换后得到的图形是一样的,这样可以确定变换的正确性。

目前存在的问题是,对于复函数的变换结果不正确。我想了很多天都找不出问题所在,只能暂时放弃,等以后有机会再研究。

下面是对上一个例子中的模拟输入信号做离散化,然后再进行离散傅里叶变换。

为了体现Nyquist定理,将使用两种不同的采样频率

使用Fs=5000sam/sec采样来获得x1(n)

使用Fs=1000sam/sec采样来获得x2(n)

% Analog SignalDt = 0.00005;t = -0.005:Dt:0.005;xa = exp(-1000*abs(t));% Discrete-time Signal Ts = 0.0002;n = -25:1:25;x = exp(-1000*abs(n*Ts));% Discrete-time Fourier transformK = 500;k = 0:1:K;w = pi*k/K;X = x*exp(-j*n'*w); X = real(X);w = [-fliplr(w), w(2:K+1)];X = [fliplr(X), X(2:K+1)];subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);xlabel('t in msec.'); ylabel('x1(n)');title('Discrete Signal');hold on;stem(n*Ts*1000,real(x));gtext('Ts=0.2 msec');hold off;subplot(2,1,2);plot(w/pi,X);xlabel('Frequency in pi units');ylabel('X1(w)');title('Discrete-time Fourier Transform');Fs=5000sam/secxa(t)的频率为2KHz,因此它的Nyquist频率为4KHz,而它的采样频率为5KHz,所以是满足Nyquist采样定律的,此时不会发生混叠。

运行效果如下:

这里使用的采样频率为1KHz,不满足Nyquist条件,因此会发生混叠。观察一下就会发生,1KHz采样得到的序列的频域波形和前面的频域波形不同,这就是混叠导致的,而且过低的采样率采集的信号的变换的不可逆的。

运行效果如下: