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参考资料:

(1)基于耦合滑移模型的岩体地震可靠性分析方法

(3)结构可靠度分析:方法与程序

简化模型及运动平衡方程

如下图1所示的多层隔震建筑,当受到地震作用时每层结构体都会产生地震响应。如图2 所示,建立多自由度基础隔震耦合滑移简化模型并进行运动分析。

图1多层隔震建筑

图2 多自由度耦合滑移模型

其中mb 和m1,...,mj,...,mn代表潜在滑动体,视为刚体c和k分别为阻尼和弹簧刚度,三者皆为确定性参数。分别为潜在滑块mj相对于mb的位移、速度、加速度。

根据论文所述,随机振动响应采用振型位移叠加法进行计算,分为滑体与基础未发生相对滑移和发生相对滑移后两种情况。

1. 上部滑体相对基础未发生滑移

上部滑体与基础未发生相对滑移时,mb与地基础一起滑移,上部滑体的运动方程为:

其中M是集中质量矩阵,对角阵;C表示阻尼矩阵;K表示刚度矩阵;

表示滑动体加速度向量;是速度向量;x是位移向量,1代表元素为1 的列向量。

图3 多自由度耦合滑移模型的受力示意图

未发生相对滑动时,对模型滑动方向进行受力分析,如图3 所示滑动方向为反方向。假设tˆ0时刻,系统开始发生相对滑移,极限平衡条件为:

2. 滑体与基础发生相对滑移后

相对滑移一经起始,时,上部结构的运动方程变成为:

,是滑体的底部滑块mb与基础的相对滑移加速度,为相对滑移量。此时系统的平衡条件为:

由式(4)求解,并代入到(3)求解,得

其中,方程(5)表示系统上部第j个滑体mj 在脉冲荷载mj*u*g 作用下的自由振动,先求解M的响应加速度x'',然后由式(4)得滑体相对基础的滑移加速度r'' :

利用有限滑移法对式(6)进行两次积分可以得到沿滑移面的相对滑移量。当滑移速度等于0 时,相对滑移增量停止。

振型叠加法计算动力响应

1. 以相对滑移起始临界状态为失效判据的可靠度分析

基于单自由度位移求解公式Duhamel积分,利用振型叠加法求解多自由度体系上部滑体的位移x(t),并结合已知的x''g(t),把x(t)和x''g (t)代入极限状态方程(2)得到功能函数,利用FORM法(一次二阶矩法)求解可靠度理论解。

2. 以总的相对滑移量为失效判据的可靠度分析

t时刻总相对滑移量:

由于相对滑移起始时刻tˆ0 和相对滑移方向改变的时间点tˆi 都与正态随机变量uˆ 有关,所以它是隐式函数,不能得到可靠度的精确解,但可以利用Monte Carlo法模拟统计相对滑移量,计算可靠度的近似解。

以上两种情况下动力响应及可靠度求解公式的详细推导过程请查阅参考论文。

算例分析

某隔震建筑物为一个三层实验楼,在水平面位置采用大量钢板橡胶垫当作隔震层,这样加上隔震层,结构总共有四个自由度。简化为图3模型,编写MATLAB 程序计算可靠度指标并分析计算结果。已知m1=m2=m3=mb=kg,k1=k2=k3=kb=2600000000N/m,阻尼比为0.05,平稳高斯过程持时T=5 s,时间步长dt = 0.02 s,系统滑移面的摩擦系数为0.3。

将平稳随机激励x''g(t)表示成式下式的形式:

即n个时间演变函数和标准正态随机变量先乘积再叠加的离散形式,这样处理地震动的好处是:将地震作用下的随机振动问题转化成了数学计算问题。

平稳随机激励的确定性基函数为:

1.以相对滑移起始临界状态为指标

平稳随机激励时程

失效概率

摩擦系数对可靠度指标影响

2.以相对滑移量(相对滑动后)为指标

Monte Carlo 模拟计算失效概率:给定相对滑移量的阈值为d0=0.2m,重复调用Matlab 程序n 次,每次运行都有250 个时间点的不同位移,记录所有位移中大于d0的总个数nf,则失效概率。

高斯激励下某一次相对滑移量时程

摩擦系数对失效概率的影响

一篇纯理论基础研究型文章,从两个方面考虑系统的随机振动响应,推导出了系统在受到随机振动后的失效概率的理论计算公式和近似模拟方法,难度在于滑移起始状态判断和总滑移量的计算。针对滑移起始为临界状态的可靠度问题,写出功能函数的显式表达式,进而给出设计点激励,进行可靠度理论求解;对于以相对滑移量为失效条件可靠度问题,借助Monte Carlo 法进行可靠度求解。

论文以简单算例形式分析了关键参数对系统可靠性的影响,但是缺乏利用计算机软件模拟的方法进行结果对比和方法验证,论文所提出方法怎么更好的应用到工程实际是个疑问。

个有理想的平台

两个不断努力的青年

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