整合(或也叫作集成)涉及两种本质上不同类型的问题。

第一种类型问题是给出了函数的导数,并且想要找到该函数。所以基本上扭转了差异化的过程。 这种反向过程被称为抗分化,或者找到原始函数,或者找到不确定的积分。

第二种类型问题是涉及相当多的非常小的数量,然后随着数量的大小接近于零,而术语的数量趋向于无穷大。这个过程导致了定积分的定义。

确定的积分用于查找区域,体积,重心,转动惯量,由力完成的工作以及许多其他应用。

根据定义,如果函数f(x)的导数是f'(x),那么可以说f'(x)相对于x的不确定积分是f(x)。 例如,由于x^2的导数(相对于x)为2x,可以说2x的不确定积分是x^2。

在符号中 -

因此可相当于 -

不确定积分并不是唯一的,因为对于常数c的任何值,x^2 + c的导数也将是2x。

这用符号表示为 -

其中,c被称为“任意常数”。

MATLAB提供了一个用于计算表达式积分的int命令。 为了得出一个函数的无限积分的表达式,它的写法为 -

int(f);例如,引用之前的例子 -

syms x int(2*x)MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

ans = x^2示例1

在这个例子中,有一些常用表达式的积分。 创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

syms x n int(sym(x^n)) f = 'sin(n*t)' int(sym(f)) syms a t int(a*cos(pi*t)) int(a^x)MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

ans = piecewise([n == -1, log(x)], [n ~= -1, x^(n + 1)/(n + 1)]) f = sin(n*t) ans = -cos(n*t)/n ans = (a*sin(pi*t))/pi ans = a^x/log(a)示例2创建脚本文件并在其中键入以下代码 -

syms x n int(cos(x)) int(exp(x)) int(log(x)) int(x^-1) int(x^5*cos(5*x)) pretty(int(x^5*cos(5*x))) int(x^-5) int(sec(x)^2) pretty(int(1 - 10*x + 9 * x^2)) int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2) pretty(int((3 + 5*x -6*x^2 - 7*x^3)/2*x^2))请注意,pretty函数返回表达式的更可读格式。

MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

ans = sin(x) ans = exp(x) ans = x*(log(x) - 1) ans = log(x) ans = (24*cos(5*x))/3125 + (24*x*sin(5*x))/625 - (12*x^2*cos(5*x))/125 + (x^4*cos(5*x))/5 - (4*x^3*sin(5*x))/25 + (x^5*sin(5*x))/5                                    2             4  24 cos(5 x)   24 x sin(5 x)   12 x  cos(5 x)   x  cos(5 x)  ----------- + ------------- - -------------- + ----------- -     3125            625             125              5        3             5    4 x  sin(5 x)   x  sin(5 x)     ------------- + -----------          25              5 ans = -1/(4*x^4) ans = tan(x)        2  x (3 x  - 5 x + 1) ans = - (7*x^6)/12 - (3*x^5)/5 + (5*x^4)/8 + x^3/2       6      5      4    3    7 x    3 x    5 x    x  - ---- - ---- + ---- + --     12     5      8     2MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

使用MATLAB查找定积分根据定义,定积分基本上是一个总和的极限。 我们使用定积分来查找曲线和x轴之间的面积以及两条曲线之间的面积。定量积分也可用于其他情况,其中所需数量可以表示为总和的极限。

通过传递要计算积分的极限,int函数可用于定积分。

参考公式 -

它的写法是 -

int(x, a, b)例如,要计算的值是 -

因此,可以书写为 -

int(x, 4, 9)MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

ans = 65/2以下是以上示例的Octave写法 -

pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = x; c = [1, 0]; integral = polyint(c); a = polyval(integral, 9) - polyval(integral, 4); display('Area: '), disp(double(a));可以使用Octave提供的quad()函数编写另一个替代求解代码,如下所示:

pkg load symbolic symbols f = inline("x"); [a, ierror, nfneval] = quad(f, 4, 9); display('Area: '), disp(double(a));示例1

下面来计算x轴和曲线y = x^3-2x + 5和纵坐标x = 1和x = 2之间的面积。

所需面积由公式计算 -

创建脚本文件并键入以下代码 -

f = x^3 - 2*x +5; a = int(f, 1, 2) display('Area: '), disp(double(a));MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

a = 23/4 Area:    5.7500以下是上面示例的Octave写法 -

pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = x^3 - 2*x +5; c = [1, 0, -2, 5]; integral = polyint(c); a = polyval(integral, 2) - polyval(integral, 1); display('Area: '), disp(double(a));可以使用Octave提供的quad()函数给出一个替代求解代码,如下所示:

pkg load symbolic symbols x = sym("x"); f = inline("x^3 - 2*x +5"); [a, ierror, nfneval] = quad(f, 1, 2); display('Area: '), disp(double(a));MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

Area: 5.7500示例2

查找曲线下面积:f(x)= x^2 cos(x),对于-4≤x≤9。

创建一个脚本文件并写下面的代码 -

f = x^2*cos(x); ezplot(f, [-4,9]) a = int(f, -4, 9) disp('Area: '), disp(double(a));MATLAB执行上述语句将返回以下结果 -

同时也会输出以下内容 -

a = 8*cos(4) + 18*cos(9) + 14*sin(4) + 79*sin(9) Area:    0.3326以下是上面示例的Octave写法 -