9  多项式的表达式及其操作

9.1 多项式的表达式和创建

1.多项式的表达式

MATLAB用一个行向量来表示多项式,此行向量就是将幂指数降序排列之后多项式各项的系数。例如,考虑下面的表达式:

这就是Wallis在他第一次在法国科学院提出牛顿法的时候所用的多项式。在MATLAB中,该多项式可以用以下命令来输入:

这个表达式的含义就是的系数为1,的系数为0(原公式中无此项,需补足为0),的系数为-2,常数项为-5。

2.多项式行向量的创建方法

多项式系数向量的直接输入法就是按照多项式表达式的约定,把多项式的各项系数一次排放在行向量的元素位置上。

正如前面所提到的:多项式的系数要以降幂顺序排列,假如多项式中缺少了某一幂次,那么就认为该幂次的系数为零。

利用命令P=poly(A)生成多项式系数向量。若A是方阵,多项式P就是该方阵的特征多项式。若A是一个向量, A的元素就被认为是多项式P的根。

【例2-36】  求 3 阶方阵 A 的特征多项式。

>>A=[11 12 13;14 15 16;17 18 19];

>>PA=poly(A)                         %  A的特征多项式

>>PPA=poly2str(PA,'s')              % 以较为习惯的方式显示多项式

1.0000  -45.0000 -18.0000    0.0000

s^3 - 45 s^2 - 18 s +1.6206e-014

【例2-37】  由给定根向量求多项式系数向量。

>> R=[-0.5,-0.3+0.4*i,-0.3-0.4*i];       %  根向量

>> P=poly(R)                                %  R 的特征多项式

1.0000    1.1000    0.5500   0.1250

>> PR=real(P)                               %  求 PR的实部

1.0000    1.1000    0.5500   0.1250

>> PPR=poly2str(PR,'x')

x^3 + 1.1x^2 + 0.55 x + 0.125

需要指出的是:要形成实系数多项式,则根向两种的复数根必须共轭成对;含复数的根向量所生成的多项式系数向量(如P)的系数有可能带在截断误差数量级的虚部,此时可以采用取实部的函数real来将此虚部滤掉。

9.2 多项式运算函数

常用的多项式运算所涉及到的函数见表2-11。

表2-11     多项式运算函数

函数形式

函数功能

函数形式

函数功能

卷积和多项式乘法

解析多项式积分

去卷积和多项式除法

按数组运算规则计算多项式值

求具有指定根的多项式

按矩阵运算规则计算多项式值

多项式求导

部分分式展开式和多项式系数之间转换

多项式本征值

多项式的根

多项式拟合

【例2-38】  求的“商”及“余”多项式。

>> p1=conv([1,0,2],conv([1,4],[1,1]));                   %  计算分子多项式

>> p2=[1 0 1 1];                                            %  注意缺项补零

>> [q,r]=deconv(p1,p2);

>> cq=' 商多项式为 ';

>> cr=' 余多项式为 ';

>> disp([cq,poly2str(q,'s')]),disp([cr,poly2str(r,'s')])  %  显示运算结果

运行的结果如下:

商多项式为    s + 5

余多项式为    5 s^2 + 4 s + 3

【例2-39】  两种多项式求值指令的差别示例。

>> S=pascal(4)                     %  生成一个 4 阶方阵

1     1    1     1

1     2    3     4

1     3    6    10

1     4   10    20

>> P=poly(S);

>> PP=poly2str(P,'s')

s^4 - 29s^3 + 72 s^2 - 29 s + 1

>> PA=polyval(P,S)                 %  独立变量取数组 S 元素时的多项式值

0.0016    0.0016    0.0016   0.0016

0.0016    0.0015   -0.0140  -0.0563

0.0016   -0.0140   -0.2549  -1.2089

0.0016   -0.0563   -1.2089  -4.3779

>> PM=polyvalm(P,S)                %   独立变量取矩阵 S 时的多项式值

-0.0013   -0.0063   -0.0104  -0.0241

-0.0048   -0.0217   -0.0358  -0.0795

-0.0114  -0.0510   -0.0818   -0.1805

-0.0228   -0.0970   -0.1553  -0.3396

从理论上讲,PM应该为零。这就是著名的“Caylay-Hamilton”定理:任何一个矩阵满足它自己的特征多项式方程。本例中的PM的元素都很小,这是由截断误差造成的。

【例2-40】  部分分式展开示例。

>> b=[3,2,5,4,6];                %  分子多项式系数向量

>> [r,s,k]=residue(b,a)

1.1274 +1.1513i

1.1274 -1.1513i

-0.0232 -0.0722i

-0.0232 +0.0722i

0.4176 +1.1130i

0.4176 -1.1130i

本例中的k是空阵,这说明分母的阶数高于分子。另外从计算数学上来讲,如果某些根很靠近,极点和留数的计算受截断误差的影响会比较大,此时用这种表达方式的数值稳定性不如用状态方程或零点、极点展开可靠。