从今起准备连续多期介绍一些常用的算法,通过不断实践“算法到程序”这一过程来学习matlab编程,久而久之就可做到熟能生巧。

今天要介绍的是二分法,它是一种古老且经典的、蕴含深刻哲理的算法。我们知道现实物理世界是有限的,而抛开物理意义却又是无限可分的,而二分法就是基于这种无限可分思想,可以说它是连接有限与无限的纽带。今天主要介绍二分法在数学寻根中的应用,毕竟为的是将算法程序化。

要求单调函数f(x)在区间[a,b]上的根,且给定计算精度为e,用二分法寻根的过程大致如下:

1、分别计算f(a),f(b)的函数值,验证f(a)*f(b)是否小于0,若大小于0则说明在区间[a,b]上存在根。

2、计算区间求中点mid = (a+b)/2。

3、计算f(mid)的函数值,

① 若f(mid)=0,则mid就是函数的根;

② 若f(a)·f(mid)<0,则令b=mid;

③ 若f(mid)·f(b)<0,则令a=mid。

4、通过比较区间差绝对值与计算精度e的大小来判断是否达到预设条件,若|a-b|<e,则得到根的近似值a(或b),否则重复2至4步骤。

问题定义:求函数f(x) = 3*x.^3-9*x.^2+5.6*x-7.5在区间[2,3]的根,计算精度为10^-6.

% 定义区间[2,3]

x = 2:0.1:3;

% 定义参考y值,即y=0的直线

ty = zeros(1,length(x));

% 定义在区间[2,3]上单调的函数fun

fun = @(x) 3*x.^3-9*x.^2+5.6*x-7.5;

y = fun(x);

% 绘制示意图

plot(x,y,'b.-',x,ty,'r--','LineWidth',3.5);

xlabel('x轴');

ylabel('y轴');

title('二分法寻根测试');

% 定义计算精度ep和临时变量tmp

% 对于不知道循环次数的,用whlie来实现

while(tmp>ep)

if fun(a)*fun(b) < 0

mid = (a+b)/2;

if fun(a)*fun(mid) < 0

if fun(b)*fun(mid) < 0

tmp = abs(a-b);

disp('此区间不存在根!!!');

JG = fun(mid);

disp(['在区间[2,3]的近似解为',num2str(JG)]);

% 绘制近似交点

plot(mid,JG,'r.','MarkerSize',50);

效果图: