傅氏变换分析是信号分析中很重要的方法,借助matlab可以很方便的对各类信号进行傅氏频域分析。本文介绍了集中离散的傅氏变换以及matlab实现方法。

1、离散序列的傅里叶变换DTFT (Discrete Time Fourier Transform)

实现代码

%原离散信号有8点

n=[0:1:N-1];

%原信号是1行8列的矩阵

%构建原始信号,为指数信号

%频域共-800--+800的长度

%本应是无穷,高频分量很少,故省去

X=xn*exp(-j*(n'*w));

%求dtft变换,采用原始定义对复指数分量求和

subplot(311)

stem(n,xn);

title('原始信号(指数信号)');

subplot(312);

plot(w/pi,abs(X));

title('DTFT变换')

分析:可见,离散序列的dtft变换是周期的,这也符合Nyquist采样定理的描述,连续时间信号经周期采样之后,所得的离散信号的频谱是原连续信号频谱的周期延拓。

2、离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)

与1中DTFT不一样的是,DTFT的求和区间是整个频域,这对计算机的计算来说是不可以实现的,DFT就是序列的有限傅里叶变换。实际上,1中我给的代码也只是对频域的-800----+800中间的1601点求了和,也不是无数次求和。

实现代码

%原离散信号有8点

n=[0:1:N-1];

%原信号是1行8列的矩阵

%构建原始信号,为指数信号

w=[-8:1:8]*4*pi/8;

%频域共-800--+800 的长度

%本应是无穷,高频分量很少,故省去

X=xn*exp(-j*(n'*w));

%求dtft变换,采用原始定义对复指数分量求和

subplot(311)

stem(n,xn);

w1=[-4:1:4]*4*pi/4;

X1=xn*exp(-j*(n'*w1));

title('原始信号(指数信号)');

subplot(312);

stem(w/pi,abs(X));

title('原信号的16点DFT变换')

subplot(313)

stem(w1/pi,abs(X1));

title('原信号的8点DFT变换')

分析:DFT只是DTFT的现实版本,因为DTFT要求求和区间无穷,而DFT只在有限点内求和。

3、快速傅里叶变换FFT (Fast Fourier Transform)

虽然DFT相比DTFT缩减了很大的复杂度,但是任然有相当大的计算量,不利于信息的实时有效处理,1965年发现的DFT解决了这一问题。

实现代码

%原离散信号有8点

n=[0:1:N-1];

%原信号是1行8列的矩阵

%构建原始信号,为指数信号

Xk=fft(xn,N);

subplot(221);

stem(n,xn);

title('原信号');

subplot(212);

stem(n,abs(Xk));

title('FFT变换')

分析:由图可见,fft变换的频率中心不在0点,这是fft算法造成的,把fft改为fft shift可以将频率中心移到0点。