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优化理论是一门实践性很强的学科。所谓最优化问题,一般是指按照给定的标准在某些约束条件下选取最优的解集。它被广泛地应用于生产管理、军事指挥和科学试验等领域,如工程设计中的最优设计、军事指挥中的最优火力配置问题等。优化理论和方法于20世纪50年代形成基础理论。在第二次世界大战期间,出于军事上的需要,提出并解决了大量的优化问题。但作为一门新兴学科,则是在G. B. Dantzig提出求解线性规划问题的单纯形法(1947年),H.W.Kuhnh和A.w.Tucker提出非线性规划基本定理(1951年),以及R.Bellman提出动态规划的最优化原理(1951年)以后。之后,由于计算机的发展,使优化理论得到了飞速的发展,至今已形成具有多分支的综合学科。其主要分支有:线性规划、非线性规划、动态规划、图论与网络、对策论、决策论等。

MATLAB提供了优化工具箱来进行优化问题求解,其中包括各种带约束优化问题求解、多目标优化、方程求解等功能。除了优化工具箱之外,MATLAB还提供了用途更为广泛的全局优化工具箱(Global Optimization Toolbox),提供了包括模式搜索法、模拟退火算法、遗传算法等智能算法,使用户面对各种不同的复杂问题时可以有更多的选择。

11.1  MATLAB优化工具箱

MATLAB的优化工具箱提供了对各种优化问题的一个完整的解决方案。MATLAB中的优化工具箱(Optimization Toolbox)中含有一系列的优化算法函数,这些函数拓展了MATLAB数字计算环境的处理能力,可以用于解决如下一些工程实际问题。

(1)求解无约束非线性极小值。

(2)求解约束非线性极小值,包括目标逼近问题,极大、极小值问题,以及半无限极小值问题。

(3)求解二次规划和线性规划问题。

(4)非线性最小二乘逼近和曲线拟合。

(5)约束线性最小二乘。

(6)求解复杂结构的大规模的优化问题,包括线性规划和约束非线性最小值。

(7)多目标优化,包括目标达成问题和极小、极大问题。

(8)优化工具箱还提供了求解非线性系统方程的函数。

11.1.1  MATLAB求解器

MATLAB优化工具箱拥有以下4类求解器。

1.最小值优化

这一组求解器用于求解目标函数在初始点x0附近的最小值位置。适用于无约束优化、线性规划、二次规划和一般的非线性规划。

2.多目标最小值优化

这一组求解器用于求解一组方程极大值中的极小值(fminimax),还可以求解一组方程低于某一特定值的定义域(fgoalattain)。

3.方程求解器

这一组求解器用于求解一个标量或者向量非线性方程f(x) = 0在初始点x0附近的解。也可以将方程求解当作是一种形式的优化,因为它等同于在x0附近找到一个f(x)模的最小值。

4.最小二乘(曲线拟合)求解器

这一组求解器用于求解一组平方和的最小值。这样的问题常在求一组数据的拟合模型的过程中出现。这组求解器适用于求问题非负解、边界限定或者线性约束解问题,还适用于根据数据拟合出参数化非线性模型。

为此,我们应根据自己的实际需要,根据实际的约束条件来选择相应的求解器。4种求解器所对应的所有优化函数如表11-1所示。

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